Beinci Dereceden Kk Hesaplamak in Kk Bir Oyun-(24.10.2020)
BAA – Matematik / Engin Özkan]
Öncelikle ’inci dereceden kökle ne kastediyoruz açıklamaya çalışalım. Herhangi bir sayısı alalım ve ’yı kendisiyle beş kez çarpalım: ifadesinin gösterimi ‘tir. Şimdi bu işlemin tersini düşünelim; yani herhangi bir sayı verildiğinde bu sayının hangi sayının kendisiyle 5 kez çarpımı olduğunu bulabilir miyiz? Bu sorunun cevabını bulmak amacıyla yapılan işleme ’nci dereceden kök alma işlemi denir. Örneğin 32 sayısını düşünelim. 32 sayısının ’nci dereceden kökü olarak gösterilir. Biliyoruz ki 2 sayısını kendisiyle 5 kez çarparsak 32’yi elde ederiz. Bu demektir ki ’dir.
Öykümüz şöyle; arkadaşınız rastgele iki basamaklı bir sayı düşündü ve bu sayının ’inci kuvvetini hesap makinesi yardımıyla hesapladı ve size sayısını okudu - tabi bu işlemi herhangi bir araç kullanmadan yapabilen arkadaşlarınız var ise bu oyunu o arkadaşınızla oynamamanızı tavsiye edebiliriz. Siz bu dokuz basamaklı sayının hangi iki basamaklı sayının ’nci kuvveti olduğunu bir çırpıda söyleyebilir misiniz?
Bu tekniği anlatmak için matematiğin sayılar teorisi alanında çok önemli olan bir teoremden bahsetmemiz gerekecek ki aslında yazının amacı biraz da bundan bahsetmek.
Öncelikle şu soruyu cevaplamakla başlayalım: Neden ’inci kuvvet veya ’inci dereceden kökten bahsediyoruz? Cevabı şu önermede gizli:
Herhangi bir pozitif tamsayısı için ve sayılarının birler basamağı aynıdır.
İlk önce bu önermenin ispatından bahsedeceğiz. Sonrasında ise bu önermenin “bir çırpıda” 5’inci dereceden kök bulma oyunu için nasıl işimize yaradığını göstereceğiz.
Şimdi rastgele bir pozitif tamsayısı alalım. ile ’nın birler basamağının aynı olduğunu göstermek istiyoruz. Bu iddia ile sayısının 10’a kalansız olarak bölünebilmesi aynı şey. sayısının 10’a kalansız olarak bölünebilmesini ise şu şekilde gösterebiliriz: 2’ye ve 5’e kalansız olarak bölünebiliyor ise 10’a da kalansız olarak bölünebiliyor demektir. İlk önce çarpanlara ayırma metoduyla 2’ye bölünebilirliği gösterelim:
Dikkat ederseniz çarpanların içinde ardışık sayılar mevcut! İki ardışık sayıdan biri çift olmak zorunda olduğuna göre ’nın 2’ye bölünebildiğini göstermiş olduk.
Şimdi 5’e bölünebilirliği göstermek için Matematikte Euler teoremi veya Fermat-Euler Teoremi olarak bilinen ünlü teoremi kullanacağız. Önce bu teoremin ne dediğini anlamaya çalışalım.
Matematikte, kendisinden çalışkanlığı ve üretkenliğiyle çokça söz ettirmiş Leonhard Euler, önemli bir fonksiyonu, Euler Phi (fi diye okunur) fonksiyonunu tanımladı. Bu fonksiyon öncelikle pozitif tamsayılar üzerinde tanımlanan bir fonksiyondur ve notasyonu ile gösterilir. Euler Phi fonksiyonu aldığı herhangi bir pozitif tamsayıyı -bu pozitif tamsayıyı ile gösterelim- ’nin kendisinden küçük ve n ile aralarında asal olan pozitif tamsayıların sayısına götürür. Karışık mı oldu, hemen doğru yola yani pratiğe başvuralım ve örnek verelim. Örneğimizde olsun, bu durumda olacaktır. Çünkü sayısından küçük ve ile aralarında asal olan sayılar ve ’dur. Euler-Fermat Teoremi şunu söyler:
Eğer ve aralarında asal olan iki pozitif tamsayı ise sayısı ile tam olarak bölünür.
Şimdi ’nın 5’e bölünebilirliğini Euler-Fermat Teoremi yardımıyla hızlıca gösterebiliriz. Teoremde yerine 5 alalım. O zaman buluruz, çünkü 5’ten küçük dört tane pozitif tamsayı vardır ve hepsi 5 ile aralarında asaldır. Ayrıca, 5 asal sayı olduğu için, bütün pozitif tamsayılarla arasında asaldır. Dolayısıyla için teoremi herhangi bir pozitif tamsayısına uygulayabiliriz; yani 5’e tam olarak bölünebilir. Dolayısıyla, ile çarparak sayısının da 5’e bölünebildiğini göstermiş oluyoruz. Herhangi bir sayısı için! sayısının 2’ye bölünebilirliğini üstte göstermiştik. Dolayısıyla, sayısının 10’a bölünebilirliğinin ispatını Euler ve Fermat’nın yardımıyla ve biraz da çarpanlara ayırma kullanarak göstermiş olduk. Bir başka ifadeyle şunu göstermiş olduk:
Herhangi bir pozitif tamsayısı için sayısı ile sayısının birler basamağı aynıdır!
Şimdi sorduğumuz soruya geri dönelim. sayısının hangi iki basamaklı sayının ’nci kuvveti olduğunu nasıl bulabiliriz?
Örneğin ’inci kuvvetini aldığımız sayı ’un katı ise cevabı söylemek çok kolay. Bu durumda sayının son 5 basamağı 0 olacaktır. Sıfırları atarsak geri kalan sayı, bilmediğimiz iki basamaklı sayının ondalık kısmının 5’inci kuvveti olur. Bu durumda bilmediğimiz iki basamaklı sayının birler basamağı 0 olacaktır, yani 1 ile 9 arasında bir rakam olmak üzere, bilmediğimiz sayıyı şeklinde gösterebiliriz. Bu durumda olur. Örneğin sayısının hangi sayısının 5’inci kuvveti olduğunu bulmaya çalıştığımızda, sıfırları atarak, olduğunu buluruz. Ama daha önce ispatladığımız iddiaya göre ’in birler basamağının sayısının birler basamağıyla aynı olduğunu biliyoruz. bir rakam olduğuna göre ’dir. Dolayısıyla sayısı ’in 5’inci kuvvetidir!
Peki aldığımız iki basamaklı sayı ’un katı değilse ne yapacağız? Bu durumda sadece ve ’nın ’inci kuvvetlerini bilmeniz yeterli olacaktır. Bazı serzenişler duyar gibiyim. Aslında haklısınız bu kadar sayının ’inci kuvvetini akılda tuttuktan sonra herhangi bir sayının ’inci dereceden kökünü de hesaplayabilirim diyebilirsiniz ama bu oldukça zor. Genel olarak bir sayının bilmem kaçıncı dereceden kökünü bulmak oldukça zor bir iş.
’un katı olan sayıların ’inci kuvvetlerini akılda tutmak ne gibi bir kolaylık sağlıyor diye sorulacak olursa da bu durumda yapmamız gereken sayıyı aşağıdaki sayılarla karşılaştırıp yukarıda ispatladığımız önermeyi kullanmak. Şimdi bu durum açıklamaya çalışalım.
Bu kuvvetleri ezberlediğimizi varsayalım ve sayısının ’inci dereceden kökünü hesaplayalım. Unutmayın, sayının iki basamaklı olduğunu biliyoruz! Sayının son hanesi olduğu için, üstte ispatladığımız sonuca göre bizim iki basamaklı sayımızın da son hanesi olacak. Peki onlar basamağını nasıl hesaplayacağız. Dikkat edersek sayısı ile arasında. Bu demektir ki sayımızın onlar hanesi . Yani ’inci kuvvetini aldığımız ve iki basamaklı olduğunu bildiğimiz sayı ’dir!
Siz de matematiğin sayılar teorisi alanında önemli bir teorem olan Euler teoreminin bu güzel uygulamasını kullanarak -ve tabi biraz da ezberle- arkadaşlarınızı oldukça şaşırtabilirsiniz!
Kaynak:
|
Bu haber 1756 defa okundu. Geri Dön
